Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e，直线y=ex+a与x，y轴分别交于A，B两点，E点是直线与椭圆的一个交点，且AE=e•AB，则离心率e的值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出A，B，直线y=ex+a代入椭圆方程，化简整理，解二次方程，求得E的坐标，再由离心率公式及椭圆的a，b，c的关系，由条件AE=e•AB，得到e的方程，解得即可，注意离心率的范围．

解答： 解：直线y=ex+a与x，y轴分别交于A，B两点，
即有A（-

a

e

，0），B（0，a），
直线y=ex+a代入椭圆方程，可得，
（b²+a²e²）x²+2ea³x+a⁴-a²b²=0，
由于e=

c

a

，b²=a²-c²，
则有a²x²+2ea³x+e²a⁴=0，
即有（ax+ea²）²=0，解得，x=-ea，
即有直线和椭圆相切，E为切点，且E（-ea，a-ae²），
由于AE=e•AB，即有（ea-

a

e

）²+（a-ae²）²=e²•（a²+

a2

e2

），
化简整理，可得，e⁴-3e²+1=0，
解得，e²=

3± 5

2

，由于0＜e＜1，
则e²=

3- 5

2

，解得，e=

5 -1

2

故答案为：

5 -1

2

．

点评：本题考查椭圆方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，考查两点的距离和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题和易错题．