Question

如图是一个正三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=1，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）面ABC⊥面AA₁B₁B．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D．证明OC∥C₁D，通过直线与平面平行的判定定理证明OC∥面A₁B₁C₁．  
（2）由（1）OD∥AA₁，利用直线与平面垂直的判定定理证明CO⊥面AA₁B₁B，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABC⊥面AA₁B₁B．

解答： 解：（1）证明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D．
则OD∥BB₁∥CC₁，因为O是AB的中点，所以OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1．
则ODC₁C是平行四边形，
因此有OC∥C₁D，C₁D?平面C₁B₁A₁，且OC?平面C₁B₁A₁；
则OC∥面A₁B₁C₁．   （6分）
（2）由（1）OD∥AA₁，
又∵O是AB的中点，D是A₁B₁的中点．
∵△A₁B₁C₁是正三角形，∴C₁D⊥A₁B₁，
又AA₁⊥C₁D，∴C₁D⊥面AA₁B₁B，又C₁D∥CO，
∴CO⊥面AA₁B₁B，
∵CO?面ABC，
∴面ABC⊥面AA₁B₁B（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力．