Question

9．若点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上，F₁、F₂分别是椭圆的两焦点，且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 依题意，在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，|F₁P|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{2}$，|F₁F₂|=2c=2，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，从而可求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1．
又∵P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂为左右焦点，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{2}$，|F₁F₂|=2c=2，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°，
=8-3|F₁P|•|PF₂|，
∴8-3|F₁P|•|PF₂|=4，
∴|F₁P|•|PF₂|=$\frac{4}{3}$．
∴S_△F1PF2=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|sin60°，
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．