Question

20．已知抛物线C：x²=4y，F为抛物线C的焦点，设P为直线l：x-y-2=0上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB．
（1）在直线l上取点P（4，2），求直线AB的方程；
（2）当点P在直线l上移动时，求|AF|+|BF|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设切线斜率为k，联立方程组，令判别式△=0解出k，利用导数的几何意义得出切线方程，求出切点A，B的坐标，从而得到直线AB的方程；
（2）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据（1）的结论得出AB的方程，联立抛物线方程得出y₁+y₂，于是AF|+|BF|=y₁+y₂+2，得出|AF|+|BF|关于x₀的函数，求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）设切线方程为y-2=k（x-4），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y-2=k（x-4）}\end{array}\right.$，消元得x²-4kx+16k-8=0，
∴△=16k²-4（16k-8）=0，解得k₁=2+$\sqrt{2}$，k₂=2-$\sqrt{2}$．
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{x}{2}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=2k₁=4+2$\sqrt{2}$，x₂=2k₂=4-2$\sqrt{2}$．
∴A（4+2$\sqrt{2}$，6+4$\sqrt{2}$），B（4-2$\sqrt{2}$，6-4$\sqrt{2}$）．
∴直线AB的斜率为k_AB=$\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=2，
∴直线AB的方程为y-6-4$\sqrt{2}$=2（x-4-2$\sqrt{2}$），即2x-y-2=0．
（2）由抛物线定义可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1．
设P（x₀，y₀），由（1）可知直线AB方程为x₀x-2y-2y₀=0．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x-2y-2{y}_{0}=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消元得y²+（2y₀-x₀²）y+y₀²=0．
∴y₁+y₂=x₀²-2y₀，
∴|AF|+|BF|=x₀²-2y₀+2，
∵P（x₀，y₀）在直线l：x-y-2=0上，
∴y₀=x₀-2．
∴|AF|+|BF|=x₀²-2（x₀-2）+2=（x₀-1）²+5．
∴当x₀=1时，|AF|+|BF|取得最小值5．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．