Question

2．若f（x）=|log₂x|-m有两个零点x₁，x₂（x₁＞x₂），则${x_1}^2+4{x_2}^2$的最小值为4．

Answer 1

分析 由题意可知：求得f（x）的两个零点，则${x_1}^2+4{x_2}^2$=2^2m+4（$\frac{1}{2}$）^2m=2^2m+2^2-2m≥2$\sqrt{{2}^{2m}•{2}^{2-2m}}$=2$\sqrt{{2}^{2m+2-2m}}$=4．

解答 解：由题意可知：f（x）=|log₂x|-m有两个零点x₁，x₂（x₁＞x₂），则x₁=2^m，x₂=（$\frac{1}{2}$）^m，
${x_1}^2+4{x_2}^2$=2^2m+4（$\frac{1}{2}$）^2m=2^2m+2²×2^-2m=2^2m+2^2-2m≥2$\sqrt{{2}^{2m}•{2}^{2-2m}}$=2$\sqrt{{2}^{2m+2-2m}}$=4，
∴${x_1}^2+4{x_2}^2$的最小值4．
故答案为：4．

点评 本题考查函数零点定理的判定，考查含绝对值的函数的零点判断，基本不等式的性质，属于中档题．