Question

20．已知a+b＞0，比较$\frac{a}{{b}^{2}}$+$\frac{b}{{a}^{2}}$与$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的大小．并加以证明．

Answer 1

分析 比较法：将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系．

解答 解：$\frac{a}{{b}^{2}}$+$\frac{b}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a-b}{{b}^{2}}$+$\frac{b-a}{{a}^{2}}$=$\frac{（a+b）（a-b）^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$　
∵a+b＞0，（a-b）²≥0，
∴$\frac{（a+b）（a-b）^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$≥0，
∴$\frac{a}{{b}^{2}}$+$\frac{b}{{a}^{2}}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．

点评 本题考查不等式的证明．用作差的方法比较两个式子的大小，注意将差化为因式积的形式，以便于判断符号．