Question

6．已知双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，其中O为坐标原点，则曲线C的离心率的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，由题意可得$\frac{b}{a}$＞tan60°=$\sqrt{3}$，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：由C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，
而渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
可得$\frac{b}{a}$＞tan60°=$\sqrt{3}$，
即为b＞$\sqrt{3}$a，即为b²＞3a²，
即c²-a²＞3a²，
即有c²＞4a²，
即c＞2a，
e=$\frac{c}{a}$＞2，
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．