Question

17．已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=11，且{a_n-2}是等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出{a_n-2}的通项公式即可得出{a_n}的通项公式；
（2）使用错位相减法求出T_n．

解答 解：（1）设{a_n-2}的公比为q，则q=$\frac{{a}_{2}-2}{{a}_{1}-2}$=3，
∴{a_n-2}的首项为3，公比为3，
∴a_n-2=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ+2．
（2）b_n=n•3ⁿ+2n，
∴T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ+2+4+6+…+2n，
设S_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
则3S_n=1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹=（$\frac{1}{2}$-n）3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴S_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{4}$，
又2+4+6+…+2n=$\frac{2+2n}{2}•n$=n²+n，
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{4}$+n²+n．

点评 本题考查了等比数列的性质，数列求和，属于中档题．