Question

已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1-

1

x

）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上

f(x)

x-1

＞1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；
（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；
（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．

解答： 解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=

a

x

，
∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，
∴f′（2）=

a

2

=2，解得a=4．…（2分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-a（1-

1

x

）=a（lnx-1+

1

x

）；
则函数的导数g′（x）=a（

1

x

-

1

x2

）．…（4分）
令g′（x）＞0，即a（

1

x

-

1

x2

）＞0，解得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴g（x）最小值为g（1）=0，
故f（x）≥a（1-

1

x

）成立．…（6分）
（Ⅲ）令h（x）=alnx+1-x，则h′（x）=

a

x

-1，
令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）
当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）
当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，
∴只需h（x）≥0，即a≥e-1．…（10分）
当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，
∵h（e）=a+1-e＜0不合题意．…（11分）
综上，a≥e-1…（12分）

点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．