Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：AB∥平面PCD，即可证明AB∥EF；
（Ⅱ）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上不存在点M，使得EM⊥平面PCD．

解答 （Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，
所以AB∥CD．
又因为AB?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AB∥平面PCD．
又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB∥EF．…（5分）
（Ⅱ）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面PAD．
又AF?平面PAD
所以CD⊥AF．
由（Ⅰ）可知AB∥EF，
又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．
在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．
又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（11分）
（Ⅲ）解：不存在． …（14分）

点评 本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．