Question

18．已知A，B为圆C：（x-m）²+（y-n）²=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=2\sqrt{5}$，则|AB|=4．

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|²+|$\overrightarrow{AB}$|²=36，即可得到所求值．

解答 解：由圆C：（x-m）²+（y-n）²=9可得，
圆心C（m，n），半径为3，
由题意可得|$\overrightarrow{CA}$|=|$\overrightarrow{CB}$|=3，
由|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|²+|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$|²
=$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{CB}$²+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{CB}$²-2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$
=2（$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{CB}$²）=2（3²+3²）=36，
由$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=2\sqrt{5}$，可得|$\overrightarrow{AB}$|²=16，
即有|$\overrightarrow{AB}$|=4．
故答案为：4．

点评 本题考查圆的方程的运用，考查向量的数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．