点O是平面上一定点.A.B.C是平面上△ABC的三个顶点.∠B.∠C分别是边AC.AB的对角.以下命题正确的是①②③④⑤(把你认为正确的序号全部写上)．①动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$.则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．点O是平面上一定点，A、B、C是平面上△ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是①②③④⑤（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；
⑤动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．

分析根据三角的重心垂心外心的内心的有关性质和向量的几何意义分别判断即可．

解答解：对于①，∵动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，
则点P是△ABC的重心，故①正确；
对于②，∵动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）（λ＞0），
又$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$在∠BAC的平分线上，
∴$\overrightarrow{AP}$与∠BAC的平分线所在向量共线，
∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；
对于③，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$），（λ＞0），
过点A作AD⊥BC，垂足为D，则|$\overrightarrow{AB}$|sinB=|$\overrightarrow{AC}$|sinC=AD，
$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{AD}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），向量$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$与BC边的中线共线，
因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；
对于④，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）•$\overrightarrow{BC}$=λ（|$\overrightarrow{BC}$|-|$\overrightarrow{BC}$|）=0，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；
对于⑤，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），
设$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$=$\overrightarrow{OE}$，
则$\overrightarrow{EP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），
由④知（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{EP}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{EP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；
∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．