题目内容

3．欧拉公式exi=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于二象限．

分析 由题意结合三角函数的象限符号得答案．

解答 解：由题意可得，e3i=cos3+isin3，
∵$\frac{π}{2}$＜3＜π，
∴cos3＜0，sin3＞0，则e3i表示的复数对应点的坐标为（cos3，sin3），在复平面中位于二象限．
故答案为：二．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的象限符号，是基础题．

练习册系列答案
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13．设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β．则（　　）
A．①②都是假命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①②都是真命题
14．如图，O为原点，A为动点，Rt△OAB的斜边|OA|=$\sqrt{2}$，AB边上一点M使$\frac{|BM|}{|BA|}$=$\frac{1}{|OA|}$．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过顶点F（0，1）作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，△OPQ的面积是否存在最大值，若存在，求出△OPQ面积的最大值，若不存在，请说明理由．
11．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=m+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{6}}）$．
（1）写出曲线C2的直角坐标方程；
（2）设点P，Q分别在C1，C2上运动，若|PQ|的最小值为1，求m的值．
18．点O是平面上一定点，A、B、C是平面上△ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是①②③④⑤（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；
⑤动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．
8．已知z1=1-i，z2=2+2i．
（1）求z1•z2；
（2）若$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{{z}_{1}}$+$\frac{1}{{z}_{2}}$，求z．
15．已知函数f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，g（x）=x2+x-b，y=f（x）的图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）的图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．
（1）求a，b的值；
（2）设h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，当x＞0且x≠1时，判断h（x）的符号，并说明理由；
（3）求证：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞lnn+$\frac{n+1}{2n}$（n≥2且n∈N*）．
12．a，b，c是非直角△ABC中角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B-sin2C=absinAsinBsin2C，则△ABC的面积为（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．1C．2D．4
13．已知点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1的右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若${S}_{△I{PF}_{1}}$=${S}_{△I{PF}_{2}}$+λ${S}_{△{{IF}_{1}F}_{2}}$成立，则λ的值为（　　）
A．$\frac{5}{8}$B．$\frac{4}{5}$C．$\frac{3}{5}$D．$\frac{3}{4}$

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