Question

9．设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）满足f（1）+f（3）=2f（2），现给出如下结论：
①若f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，4）的增函数；
②若a•f（1）≥a•f（3），则f（x）有极值；
③对任意实数x₀，直线y=（c-12a）（x-x₀）+f（x₀）与曲线y=f（x）有唯一公共点．
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 化简f（1）+f（3）=2f（2），得出b=-6a；
①根据f′（x）是二次函数，对称轴为x=2，（0，1）和（3，4）关于对称轴对称；
当f（x）是（0，1）上的增函数时，得出f（x）是（3，4）的增函数；
②讨论a＞0和a＜0时，f′（x）=0有实数根，判断f（x）有极值；
③根据f″（x）=0得x=2，求出曲线过点（2，f（2））处的切线方程，即可得出结论正确．

解答 解：函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）满足f（1）+f（3）=2f（2），
∴（a+b+c+d）+（27a+9b+3c+d）=2（8a+4b+2c+d），
化简得6a+b=0，解得b=-6a；
对于①，f′（x）=3ax²+2bx+c=3ax²-12ax+c，是二次函数，对称轴为x=-$\frac{-12a}{2×3a}$=2，
且（0，1）和（3，4）关于对称轴对称；
当f（x）是（0，1）上的增函数时，f′（x）＞0，
∴x∈（3，4）时，f′（x）＞0，∴f（x）是（3，4）的增函数，①正确；
对于②，当a＞0时，a•f（1）≥a•f（3）化为f（1）≥f（3），
即a+b+c+d≥27a+9b+3c+d，
∴26a+8b+2c≤0，
∴13a-24a+c≤0，即11a≥c；
∴△=（12a）²-12ac=12a（12a-c），
由a＞0，∴△=12a（12a-c）＞0，f（x）有极值；
当a＜0时，a•f（1）≥a•f（3）化为f（1）≤f（3），
即得11a≤c，
∴△=（12a）²-12ac=12a（12a-c）＞0，f（x）有极值；
∴②正确；
对于③，f″（x）=6ax-12a，令f″（x）=0，解得x=2；
又f′（2）=c-12a，
过点（2，f（2））作曲线的切线，
切线方程为y=（c-12a）（x-x₀）+f（x₀），
由切线与曲线y=f（x）有唯一公共点知③正确．
综上，正确命题个数为3个．
故选：D．

点评 本题考查了函数与导数的综合应用问题，是综合性题目，是难题．