Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

．
（Ⅰ）若原点到直线x+y-b=0的距离为

2

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线和椭圆交于A，B两点．当|AB|=

3

，求b的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

b

2

=

2

，e=

c

a

=

6

3

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由已知椭圆的方程可化为：x²+3y²=3b²，AB：y=x-

2

b，从而4x²-6

2

bx+3b²=0，|AB|=

(1+1)• 72b2-48b2 42

，由此能求出b=1．

解答： 解：（Ⅰ）∵d=

b

2

=

2

，∴b=2，
∴e=

c

a

=

6

3

，∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

2

3

，
解得a²=12，
椭圆的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）∵

c

a

=

6

3

，∴a²=3b²，c2=

2

3

a2=2b2 ，
∴椭圆的方程可化为：x²+3y²=3b²，①
∵右焦点F（

2

b，0），据题意有AB：y=x-

2

b，②
由①，②有：4x²-6

2

bx+3b²=0，③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

3 2 b

2

，x₁x₂=

3b2

4

，
∴|AB|=

(1+1)• 72b2-48b2 42

=

2× 24b2 42

=

3

b=

3

，解得b=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．