Question

已知抛物线y²=2px上任一点到焦点的距离比到y轴距离大1．
（1）求抛物线的方程；
（2）设A、B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M（4、0），求|AB|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得直线x=0和准线x=-

p

2

间的距离为1，由此能求出抛物线方程为y²=4x．
（2）设点A为（a²，2a），点B为（b²，2b），由k_AB•k_MD=-1，得a²+b²=4，|AB|=

(a2-b2)2+(2a-2b)2

=2

-(ab+1)2+9

，所以当ab+1=0时，|AB|最大值为6．

解答： 解：（1）∵抛物线y²=2px上任一点到焦点的距离比到y轴距离大1，
∴直线x=0和准线x=-

p

2

间的距离为1，
∴0-（-

p

2

）=

p

2

=1，解得p=2，
所以抛物线方程为y²=4x．
（2）设点A为（a²，2a），点B为（b²，2b），
∵AB不垂直于x轴，所以：a²≠b²．
AB的中点D为（

a2

2

+

b2

2

，a+b），
AB的斜率k_AB=

2a-2b

a2-b2

=

2

a+b

，
∵点M（4，0）在AB的垂直平分线上，
∴MD即为AB的垂直平分线，两直线的斜率乘积为-1：
k_MD=

a+b-0

a2 2 + b2 2 -4

=

2(a+b)

a2+b2-8

，
∵k_AB•k_MD=-1，
∴

2

a+b

•

2(a+b)

a2+b2-8

=

4

a2+b2-8

=-1，
∴a²+b²=4，
|AB|=

(a2-b2)2+(2a-2b)2

=

(a2+b2)2-4a2b2+4(a2+b2)-8ab

=

16-4a2b2+16-8ab

=2

-(ab+1)2+9

，
∴当ab+1=0时，|AB|最大值为2

0+9

=6
∴|AB|的最大值为6，

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．