Question

18．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若在C上存在一点P，使得PO=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为$\frac{4}{3}$，则，双曲线C的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 依题意可知|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|判断出∠F₁PF₂=90°，直线OP的斜率为$\frac{4}{3}$，可求出出|PF₂|=$\frac{4}{\sqrt{5}}$c，则|F₁P|=$\frac{2}{\sqrt{5}}$c，进而利用双曲线定义可用c表示出a，最后可求得双曲线的离心率．

解答 解：∵|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，
∴|OF₁|=|OF₂|=|OP|
∴∠F₁PF₂=90°，
∵直线OP的斜率为$\frac{4}{3}$，
∴tan∠POF₁=$\frac{4}{3}$，
∴cos∠POF₁=$\frac{3}{5}$
由余弦定理可得|PF₁|²=c²+c²-2c²•$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{5}$c²，
即|PF₁|=$\frac{2c}{\sqrt{5}}$，
同理可得|PF₂|=$\frac{4c}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{4c}{\sqrt{5}}$-$\frac{2c}{\sqrt{5}}$=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$
∴e=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于中档题．