Question

8．已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（$\frac{x+y}{2}$）+f（$\frac{x-y}{2}$）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）判断函数f（x）在R上的单调性并证明；
（2）设函数g（x）与函数f（x）的奇偶性相同，当x≥0时，g（x）=|x-m|-m（m＞0），若对任意x∈R，不等式g（x-1）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（$\frac{x+y}{2}$）+f（$\frac{x-y}{2}$），令x=y=0，可得f（0）=0．设x₁＞x₂，令x=x₁，y=x₂，带入f（x）=f（$\frac{x+y}{2}$）+f（$\frac{x-y}{2}$）．利用x＞0时，f（x）＞0，可判断单调性．
（2）求解f（x）的奇偶性，可得g（x）的奇偶性，x≥0时，g（x）=|x-m|-m（m＞0），利用奇偶性求g（x）的解析式，判断单调性，从而求解不等式g（x-1）≤g（x）恒成立时实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）=f（$\frac{x+y}{2}$）+f（$\frac{x-y}{2}$），令x=y=0，可得f（0）=0．设x₁＞x₂，令x=x₁，y=x₂，
则$f（{x}_{1}）=f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）+f（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}）$，
可得：则$f（{x}_{1}）-f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）＞f（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}）$，即$f（{x}_{1}）-f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$＞0．
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
（2）令x=0，y=2x，
可得：f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函数，故得g（x）也是奇函数．
当x≥0时，g（x）=|x-m|-m（m＞0），
即g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2m，（x≥m）}\\{-x，（0≤x＜m）}\end{array}\right.$
当x＜0时，g（x）的最大值为m．
对任意x∈R，不等式g（x-1）≤g（x）恒成立，
只需要：1≥3m-（-2m），
解得：$m≤\frac{1}{5}$．
∵m＞0
故得实数m的取值范围是（0，$\frac{1}{5}$]．

点评 本题主要考查了函数图象的性质的运用和平移变换的能力．属于中档题．