Question

已知向量

a

=(-3，1)，

b

=（1，-2），

m

=

a

+k

b

(k∈R)
①若向量

m

与向量2

a

-

b

垂直，求实数k的值
②若向量

m

与向量2

a

-

b

共线，求实数k的值
③设向量

a

与

m

的夹角为α，

b

与

m

的夹角为β，是否存在实数k使α+β=π？求实数k的值，若不存在说明理由？

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：①由向量

a

、

b

的坐标，求出

m

与2

a

-

b

的坐标，根据向量垂直的坐标表示建立关于k的等式，解之可得满足条件的实数k的值；
②根据向量

m

与2

a

-

b

的坐标，利用向量平行的条件建立关于k的等式，解之可得满足条件的实数k的值；
③设向量

a

、

b

、

m

的起点为O，终点分别为A、B、M，则当点M落在∠AOB的补角∠AOC的平分线上时，满足α+β=π．此时点M到直线OA、OB的距离相等，且M在第二或第四象限内，利用点到直线的距离公式建立关于k的方程，解之可得：存在k=-

2

，使α+β=π成立．

解答： 解：∵

a

=(-3，1)，

b

=（1，-2），
∴

m

=

a

+k

b

=（k-3，-2k+1），2

a

-

b

=（-7，4）
①∵向量

m

与向量2

a

-

b

垂直，
∴（k-3）×（-7）+（-2k+1）×4=0，解之得k=

5

3

；
②∵向量

m

与向量2

a

-

b

共线，
∴（k-3）×4-（-7）×（-2k+1）=0，解之得k=

19

10

；
③设

OA

=

a

=(-3，1)，

OB

=

b

=（1，-2），

OM

=

m

=(k-3，-2k+1)，
此时∠MOA=α，∠MOB=β，α+β=∠MOA+∠MOB，
设∠AOC是∠AOB的补角，则当M在∠AOC的平分线上时，α+β=∠MOC+∠MOB=π．
直线OA的方程为x+3y=0，直线OB的方程为2x+y=0，点M（k-3，-2k+1）到直线OA、OB的距离相等．
∴

|k-3+3(-2k+1)|

12+32

=

|2(k-3)-2k+1|

22+12

，解之得k=±

2

．
又∵点M（k-3，-2k+1）是第二或第四象限内的点，
∴（k-3）（-2k+1）＜0，解得k＜

1

2

或k＞3，由此可得k=

2

不符合题意，舍去．
综上所述，存在k=-

2

，使α+β=π成立．

点评：本题给出向量含有参数k的坐标，探索两个向量平行、垂直的位置关系．着重考查了平面向量的坐标运算、向量平行与垂直的条件、点到直线的距离公式及其应用等知识，属于中档题．