Question

17．已知F₁，F₂为双曲线C：x²-2y²=1的左右焦点，点P在双曲线C上，∠F₁PF₂=120°，则${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

Answer 1

分析 由题意可得F₁ （-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），F₂（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂，由S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°，求得△F₁PF₂的面积即为所求

解答 解：由题意可得双曲线C：x²-2y²=1，a=1，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
得F₁ （-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），F₂（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
又F₁F₂²=6，|PF₁-PF₂|=2，
由余弦定理可得：
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos120°=（PF₁-PF₂）²+3PF₁•PF₂=4+3PF₁•PF₂=6，
∴PF₁•PF₂=$\frac{2}{3}$
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出PF₁•PF₂的值，是解题的关键．