Question

2．已知双曲线C₁与椭圆C₂：$\frac{y^2}{36}+\frac{x^2}{27}$=0有相同焦点，且经过点（$\sqrt{15}$，4）．
（1）求此双曲线C₁的标准方程；
（2）求与C₁共渐近线且两顶点间的距离为4的双曲线方程．

Answer 1

分析 （1）双曲线C₁与椭圆C₂：$\frac{y^2}{36}+\frac{x^2}{27}$=1有相同焦点，可以设出双曲线的标准方程（含参数a），然后根据经过点（$\sqrt{15}$，4），得到一个关于a的方程，解方程，即可得到a²的值，进而得到双曲线的方程．
（2）设与C₁共渐近线的双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=λ\\;\\;（λ≠0）$，当λ＞0时，a²=4λ=4⇒λ=1．当λ＜0时，a²=-5λ=4⇒λ=-$\frac{4}{5}$．

解答 解：（1）C₂：$\frac{y^2}{36}+\frac{x^2}{27}$=1的焦点为（0，±3），c=3，设双曲线C₁的方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{9-{a}^{2}}=1$，
把点（$\sqrt{15}$，4）代入得$\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{15}{9-{a}^{2}}=1$．
得a²=4或36，而a²＜9，∴a²=4，∴双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$．
（2）设与C₁共渐近线的双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=λ\\;\\;（λ≠0）$，
两顶点间的距离为4，⇒a=2
当λ＞0时，a²=4λ=4⇒λ=1⇒双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$．
当λ＜0时，a²=-5λ=4⇒λ=-$\frac{4}{5}$⇒双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{\frac{16}{5}}=1$．

点评 本题考查了双曲线的方程及性质，属于基础题．