Question

5．已知圆C：x²+y²=36，过点P（2，0）作圆C的任意弦．
（1）求这些弦的中点Q的轨迹方程．
（2）求y+x的最小值
（3）求$\frac{y}{x+12}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用点差法求这些弦的中点Q的轨迹方程．
（2）利用换元法求y+x的最小值；
（3）利用换元法求$\frac{y}{x+12}$的最大值．

解答 解：（1）设中点Q（x，y），弦与圆C的交点A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2x}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=2y}\end{array}\right.$，
把A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）代入圆C：x²+y²=36，
得：$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=36}\\{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=36}\end{array}\right.$，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{x}{y}$，
∵弦过P（2，0）和Q（x，y），∴k=$\frac{y}{x-2}$，
∴-$\frac{x}{y}$=$\frac{y}{x-2}$，整理，得：x²+y²-2x=0．
当k不存在时，上式成立，
∴这些弦的中点Q的轨迹方程为：x²+y²-2x=0（圆x²+y²=36的内部及交点）．
（2）∵x²+y²=36，
∴x=6cosθ，y=6sinθ，0≤θ＜2π，
∴y+x=6sinθ+6cosθ=6$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
∴y+x的最小值为-6$\sqrt{2}$．
（3）设$\frac{y}{x+12}$=k，即kx-y+12k=0，圆心到直线的距离d=$\frac{|12k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤6，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴k取最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{y}{x+1}$取最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．