Question

已知正项等差数列{a_n}的第一、二、三项分别加上2，4，10后恰为等比数列{b_n}的第三、四、五项，且数列{a_n}的前三项之和为12．
（1）求a_n，b_n；
（2）设{b_n}的前n项和为S_n，若不等式λb_n≤

S

2 n

，对?n∈N^*恒成立，求λ的取值范围；
（3）设{a_n}的前n项积为T_n，当x∈（1，+∞）时，求证：对?n∈N^*，T_ne^x-1＞(2x)

1

2

an．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

3a1+ 3×2 2 d=12 (a1+d+4)2=(a1+2)(a1+2d+10)

，由此能求出a_n=2n．b_n=2^n-1．
（2）S_n=1+2+4+8+…+2^n-1=2ⁿ-1，从而得到λ•2^n-1≤（2ⁿ-1）²，由此能求出λ≤1．
（3）T_n=2×4×6×…×2n=2ⁿ•n!，(2x)

1

2

an=（2x）ⁿ=2ⁿxⁿ，令f（x）=n!e^x-1-xⁿ，利用导数性质和函数的单调性能证明对?n∈N^*，T_ne^x-1＞(2x)

1

2

an．

解答： （1）解：∵正项等差数列{a_n}的第一、二、三项分别加上2，4，10后，
恰为等比数列{b_n}的第三、四、五项，且数列{a_n}的前三项之和为12，
∴

3a1+ 3×2 2 d=12 (a1+d+4)2=(a1+2)(a1+2d+10)

，
解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2n．
∴b₃=2+2=4，b₄=4+4=8，b₅=6+10=16，
∴b_n=2^n-1．
（2）解：∵bn=2n-1，
∴S_n=1+2+4+8+…+2^n-1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∵λb_n≤

S

2 n

，对?n∈N^*恒成立，
∴λ•2^n-1≤（2ⁿ-1）²，
解得λ≤1．
（3）证明：T_n=2×4×6×…×2n=2ⁿ•n!，
(2x)

1

2

an=（2x）ⁿ=2ⁿxⁿ，
∴证明对?n∈N^*，T_ne^x-1＞(2x)

1

2

an，
即证n!e^x-1＞xⁿ，
令f（x）=n!e^x-1-xⁿ，
f（1）=n!-1≥0，
f^（i）（x）=n!e^x-1-n（n-1）…（n-i+1）x^n-i（表求f的i次求导），
f^（i）（1）＞0，f^（n）（x）=n!e^x-1-n!＞0，
∴f（x）是（1，+∞）上的增函数，
∴对?n∈N^*，T_ne^x-1＞(2x)

1

2

an．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查a_n，b_n，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．