Question

已知函数f（x）=|2^x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中，一定成立的是

 

．①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2^-a＜2^c；④2^a+2^c＜2．

Answer 1

考点：指数函数的图像变换

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数在区间（-∞，0）上是减函数，结合题设可得①不正确；根据函数的解析式，结合举反例的方法，可得到②、③不正确；利用函数的单调性结合函数的解析式，对a＜c且f（a）＞f（c）加以讨论，可得④是正确的．由此不难得到正确选项．

解答： 解：对于①，a＜0，b＜0，c＜0，因为a＜b＜c，所以a＜b＜c＜0，
而函数f（x）=|2^x-1|在区间（-∞，0）上是减函数，
故f（a）＞f（b）＞f（c），与题设矛盾，所以①不正确；
对于②，a＜0，b≥0，c＞0，可设a=-1，b=2，c=3，
此时f（c）=f（3）=7为最大值，与题设矛盾，故②不正确；
对于③，取a=0，c=3，同样f（c）=f（3）=7为最大值，
与题设矛盾，故③不正确；
对于④，因为a＜c，且f（a）＞f（c），说明可能如下情况成立
（i）a、c位于函数的减区间（-∞，0），此时a＜c＜0，可得0＜2^c＜2^a＜1，所以2^a+2^c＜2成立
（ii）a、c不在函数的减区间（-∞，0），则必有a＜0＜c，所以f（a）=1-2^a＞2^c-1=f（c），
化简整理，得2^a+2^c＜2成立．
综上所述，可得只有④正确
故答案为：④

点评：本题以一个带绝对值的函数为例，在已知自变量大小关系和相应函数值的大小关系情况下，叫我们判断几个不等式的正确性，着重考查了函数的图象与单调性等知识点，属于基础题．