Question

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜

1

2

（x∈R），则不等式f（x²）＜

x2

2

+

1

2

的解集为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：构造函数g（x），由已知条件，判断g（x）是单调递减，且g（1）=0，得x²＞1，求得不等式的解集．

解答： 解：令t=x²，f（x²）＜

x2

2

+

1

2

，即f(t)＜

t

2

+

1

2

?f(t)-

t

2

-

1

2

＜0，
令g(x)=f(x)-

x

2

-

1

2

，∴g′(x)=f′(x)-

1

2

＜0，∴g（x）在R上单调递减，
又∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）-

1

2

-

1

2

=0，∴f(t)＜

t

2

+

1

2

⇒t＞1，即x²＞1，得x＜-1或x＞1．
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）

点评：本题考查了，不等式求解，函数的单调性，导数，运用了等价转换和构造思想．属于基础题．