Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

3an

3+2an

．设b_n=a_na_n+1-

1

9

，S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n≤

3

2

（n≤N^*）．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用递推思想求出数列的前4项，由此猜想a_n=

3

2n+1

．再用数学归纳法证明．
（Ⅱ）由b_n=a_na_n+1-

1

9

=

3

(2n+1)

•

3

(2n+3)

-

1

9

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)-

1

9

，利用裂项法能证明S_n＜

3

2

（n∈N^*）．

解答： 解：（Ⅰ）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

3an

3+2an

，
a2=

3

3+2

=

3

5

，
a₃=

9 5

3+ 6 5

=

3

7

，
a₄=

9 7

3+ 6 7

=

3

9

，
由此猜想a_n=

3

2n+1

．
下面用数学归纳法证明：
①n=1时，a1=

3

2×1+1

=1，成立．
②假设n=k时成立，即ak=

3

2k+3

，
则当n=k+1时，
ak+1=

3× 3 2k+1

3+2× 3 2k+1

=

9

6k+3+6

=

3

2k+3

=

3

2(k+1)+1

，也成立．
由①②，得an=

3

2n+1

．
（Ⅱ）b_n=a_na_n+1-

1

9

=

3

(2n+1)

•

3

(2n+3)

-

1

9

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)-

1

9

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)-

n

9

=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)-

n

9

=

3

2

-

9

2(2n+3)

-

n

9

．
∴S_n＜

3

2

（n∈N^*）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意数学归纳法和裂项求和法的合理运用．