Question

某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众，参加社区的义务服务工作．假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为

4

5

，

3

4

，

1

2

，

1

3

且各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求该选手进入第四轮才被淘率的概率；
（2）该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A_i（i=1，2，3，4），则P(A1)=

4

5

，P(A2)=

3

4

，P(A3)=

1

2

，P(A4)=

1

3

，由此能求出该选手进入第四轮才被淘率的概率．
（2）X的可能值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A_i（i=1，2，3，4），
则P(A1)=

4

5

，P(A2)=

3

4

，P(A3)=

1

2

，P(A4)=

1

3

．（2分）
∴该选手进入第四轮才被淘率的概率：
P=P(A1A2A3

.

A4

)=P(A1)P(A2)P(A3)P(

.

A4

)=

4

5

×

3

4

×

1

2

×

2

3

=

1

5

．（5分）
（2）X的可能值为1、2、3、4，
P(X=1)=P(

.

A1

)=

1

5

，
P(X=2)=P(A1

.

A2

)=P(A1)P(

.

A2

)=

4

5

×

1

4

=

1

5

，
P(X=3)=P(A1A2

.

A3

)=P(A1)P(A2)P(

.

A3

)=

4

5

×

3

4

×

1

2

=

3

10

=

4

5

×

3

4

×

1

2

=

3

10

，
P(X=4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3

.

A4

)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4+

.

A4

)=

4

5

×

3

4

×

1

2

×1=

3

10

．（9分）
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	1 5	1 5	3 10	3 10

（11分）
∴E(X)=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

3

10

+4×

3

10

=

27

10

．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．