Question

已知函数f（x）对于任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（-1）=2
（1）求f（0）的值并判断函数单调性
（2）求函数f（x）在[-3，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（0）的值，根据函数单调性的定义即可判断函数单调性
（2）根据函数的单调性和最值之间的关系即可得到结论．

解答： （1）令x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
设x₁＞x₂，f（x）+f（y）=f（x+y），令x=x₂，x+y=x₁，
则 y=x₁-x₂＞0，所以 f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁）
所以 f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
所以，f（x）在R上是减函数，
（2）f（x）+f（y）=f（x+y）
f（-3）=f（-2）+f（-1）=f（-1）+f（-1）+f（-1）=6，
f（1）+f（-1）=f（0）=0，f（1）=-2，
又因为f（x）在[-3，3]上是减函数，
所以，最大值为f（-3）=6，最小值为f（-1）=-2．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据定义法和赋值法是解决抽象函数问题的基本方法．