Question

闽东某电机厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产某型号电机产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=

-0.2x2+5x(0≤x≤12) 28(x＞12)

，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（Ⅰ）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意得G（x）=2.8+x．由R（x）=

-0.2x2+5x(0≤x≤12) 28(x＞12)

，f（x）=R（x）-G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）当x＞12时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（12）=13.2（万元）．当0≤x≤12时，函数f（x）=-0.2（x-10）²+17.2，当x=10时，f（x）有最大值为17.2（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）
∵R（x）=

-0.2x2+5x(0≤x≤12) 28(x＞12)

，
∴f（x）=R（x）-G（x）=

-0.2x2+4x-2.8(0≤x≤12) 25.2-x，x＞12

．…（7分）
（Ⅱ）当x＞12时，
∵函数f（x）递减，
∴f（x）＜f（12）=13.2（万元）．…（10分）
当0≤x≤12时，函数f（x）=-0.2（x-10）²+17.2，
当x=10时，f（x）有最大值为17.2（万元）．…（14分）
所以当工厂生产10百台时，可使赢利最大为17.2万元．…（15分）

点评：本题综合考查了总成本=固定成本+生产成本、利润=销售收入-总成本、分段函数的性质、二次函数与一次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于中档题．