Question

已知函数，当时，函数取得极大值.
（１）求实数的值；
（２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；
（３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.

Answer 1

（1）-1；（2）（3）见解析.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。并和不等式进行综合的试题。有难度。
解：（１）
 
（３）用数学归纳法证明.
①当n=2时，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
当n=2时，结论成立.           …………………………9分
②假设当n=k时结论成立，即当时，
. 当n=k+1时，设正数，令，
， 则，且.

          …………………………13分
当n=k+1时，结论也成立.
综上由①②，对任意，结论恒成立. …………………………14分