Question

如图示：已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点，经过A、B两点分别作抛物线C的切线l₁、l₂，切线l₁与l₂相交于点M．
（1）当点A在第二象限，且到准线距离为

5

4

时，求|AB|；
（2）证明：AB⊥MF．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据点A在第二象限，且到准线距离为

5

4

，可求A的坐标，可得AB方程，与抛物线方程联立，求出B的坐标，即可求|AB|；
（2）证明AB⊥MF，只需证明斜率的积为-1，求出M的坐标，分别求出斜率即可．

解答： （1）解：由题意知F（0，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）（1分）
∵

5

4

=y1+

p

2

=y1+1，∴y1=

1

4

（2分）
∴A（-1，

1

4

）时，此时直线l方程为：y=

3

4

x+1（3分）
由

y= 3 4 x+1 x2=4y

解得：

x2=4 y2=4

，即B（4，4）（5分）
∴|AB|=

25

4

（6分）
（2）证明：显然直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=kx+1，
由

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，（8分）
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
∵抛物线C的方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x，（9分）
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y-y1=

1

2

x1(x-x1)，y-y2=

1

2

x2(x-x2)，（11分）
即 y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

，y=

1

2

x2x-

1

4

x

2 2

，
解得两条切线l₁、l₂的交点M的坐标为(

x1+x2

2

，

x1•x2

4

)，即M（2k，-1）．（13分）
∴kFM•kAB=

-1-1

2k

•k=-1．
∴AB⊥MF．（14分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查抛物线的切线，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．