Question

已知函数f（x）=

ax     (x≤0) 3a-x 1 2 (x＞0)

（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是（　　）

• A、（

  9

  4

  ，3）
• B、（0，

  1

  3

  ]
• C、（0，3）
• D、（2，3）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：若函数f（x）=

ax     (x≤0) 3a-x 1 2 (x＞0)

（a＞0，且a≠1）是R上的减函数，则每一段均为减函数，且当x≤0时，函数f（x）=a^x的图象在当x＞0时，函数f(x)=3a-x

1

2

的上方，综合讨论结果，可得a的取值范围．

解答： 解：当x≤0时，f（x）=a^x为减函数知，0＜a＜1；
当x＞0时，f(x)=3a-x

1

2

为减函数知，a∈R；
并且要满足当x≤0时，函数f（x）=a^x的图象在当x＞0时，函数f(x)=3a-x

1

2

的上方，
即a⁰≥3a，解得a≤

1

3

．
综上易知a的取值范围为(0，

1

3

]．

故选：B

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握基本初等函数和分段函数的单调性是解答的关键．