题目内容
7．某统计局为了调查居民支出状况，随机调查该市10户家庭的三类支出：食品消费类支出，衣着消费类支出、居住消费类支出，每类支出都分为A、B、C三个等级，现在对三种等级进行量化：A级记为2分；B级记为1分；C级记为0分，用（x，y，z）表示该家庭的食品消费类支出、衣着消费类支出、居住消费类支出的得分情况，再用综合指标ω=x+y+z的值评定该家庭的得分等级：若ω≥4，则得分等级为一级；若2≤ω≤3，则得分等级为二级；若0≤ω≤1，则得分等级为三级，得到如下结果：| 家庭编号 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
| （x，y，z） | （1，1，2） | （2，1，1） | （2，2，2） | （0，0，1） | （1，2，1） | （1，2，2） | （1，1，1） | （1，2，2） | （1，2，1） | （1，1，1） |
（2）从得分等级是一级的家庭中任取一户，其综合指标为a，从得分等级不是一级的家庭中任取一户，其综合指标为b，记随机变量X=a-b，求X的分布列及数学期望．
分析 （1）设事件A为“从10户家庭中随机抽取两户，他们的居住消费支出得分相同”．居住消费支出得分1分的有6户，居住消费支出得分为2的有4户，由此能求出居住消费支出得分相同的所有的概率．
（2）随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
解答 解：（1）设事件A为“从10户家庭中随机抽取两户，他们的居住消费支出得分相同”．
居住消费支出得分1分的有A2，A4，A5，A7，A9，A10，
居住消费支出得分为2的有A1，A3，A6，A8，
从10户家庭中随机抽取两户的所有结果为${C}_{10}^{2}$=45，
居住消费支出得分相同的所有结果数为${C}_{6}^{2}+{C}_{4}^{2}$=21，
所以居住消费支出得分相同的所有的概率为P（A）=$\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$．…5分
（2）计算10户家庭的综合指标，可得下表：
| 人员编号 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
| 综合指标 | 4 | 4 | 6 | 1 | 4 | 5 | 3 | 5 | 4 | 3 |
综合指标不是一级的（ω《4）有A4，A7，A10共3户．…7分
随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5．
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{8}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{4}{21}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{6}{21}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{21}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{21}$，…9分
所以X的分布列为：
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | $\frac{8}{21}$ | $\frac{4}{21}$ | $\frac{6}{21}$ | $\frac{2}{21}$ | $\frac{1}{21}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
练习册系列答案
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（1）由表中数据求y与x的线性回归方程（系数$\stackrel{∧}{b}$取整数）；
（2）求贡献率R2的值（保留小数点后两位），并做出解释．
附计算公式：$\widehat{b}$$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$，$\overline{y}$=$\widehat{b}$$\overline{x}$+$\widehat{a}$，R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{y}）^{2}}$．
| 气温（℃） | 18 | 13 | 10 | -1 |
| 用电量（度） | 24 | 34 | 38 | 64 |
（2）求贡献率R2的值（保留小数点后两位），并做出解释．
附计算公式：$\widehat{b}$$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$，$\overline{y}$=$\widehat{b}$$\overline{x}$+$\widehat{a}$，R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{y}）^{2}}$．
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