Question

2．已知函数f（x）=|x+a|-|x-2|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[2，3]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≥2，即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥2}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$或x≥2，解不等式即可得到所求解集；
（2）由题意可得|x+a|≤4-x+x-2=2在[2，3]恒成立．则-2≤x+a≤2在[2，3]恒成立．即有-x-2≤a≤-x+2在[2，3]恒成立．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|-|x-2|
=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≤-1}\\{2x-1，-1＜x＜2}\\{3，x≥2}\end{array}\right.$，
由f（x）≥2，即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥2}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$或x≥2，
可得$\frac{3}{2}$≤x＜2或x≥2，
即为x≥$\frac{3}{2}$．
故不等式f（x）≥2的解集{x|x≥$\frac{3}{2}$}；            
（2）f（x）≤|x-4|的解集包含[2，3]，
即为|x+a|≤|x-4|+|x-2|在[2，3]恒成立，
即有|x+a|≤4-x+x-2=2在[2，3]恒成立．
则-2≤x+a≤2在[2，3]恒成立．
即有-x-2≤a≤-x+2在[2，3]恒成立．
由-x-2的最大值为-4，-x+2的最小值为-1．
故-4≤a≤-1．
则实数a的取值范围是[-4，-1]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的意义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和转化思想，求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．