Question

17．函数f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为π，单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]（k∈Z）$．

Answer 1

分析 根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的减区间、整体思想求出f（x）的单调递减区间．

解答 解：由题意得，f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z）$ 得，
$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}（k∈Z）$，
∴函数f（x）的单调递减区间是$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]（k∈Z）$，
故答案为：π；$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]（k∈Z）$．

点评 本题考查正弦函数的单调性，三角函数的周期公式，以及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于中档题．