Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别为BB₁，AC的中点．
（1）求证：BF∥平面A₁EC；
（2）若AB=AA₁=2，求点A到平面A₁EC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接A₁C与AC₁交于点O，连接OF，由已知得四边形BEOF是平行四边形，从而BF∥OE，由此能证明BF∥平面A₁EC．
（2）由已知得BF⊥AC，OE⊥AC，OE⊥AA₁，从而OE⊥平面A₁AC，进而OA⊥OE，由ACC₁A₁是边长为2的正方形，得AO⊥A₁C，从而A₁C是点A到平面A₁EC的距离，由此能求出点A到平面A₁EC的距离．

解答： （1）证明：连接A₁C与AC₁交于点O，连接OF，
∵F为AC的中点，∴OF∥C₁C且OF=

1

2

C₁C，
∵E为BB₁的中点，∴BE∥C₁C且BE=

1

2

C₁C，
∴BE∥OF且BE=OF，
∴四边形BEOF是平行四边形，∴BF∥OE，
∵BF?平面A₁EC，OE?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．

（2）解：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，F为AC中点，
∴BF⊥AC，
由（1）知BF∥OE，∴OE⊥AC，
∵AA₁⊥底面ABC，BF?底面ABC，∴AA₁⊥BF，
∵BF∥OE，∴OE⊥AA₁，
∵AA₁∩AC=A，∴OE⊥平面A₁AC，
∵OA?面A₁AC，∴OA⊥OE，
又正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，
∴ACC₁A₁是边长为2的正方形，∴AO⊥A₁C，
又A₁C∩OE=O，∴AO⊥平面A₁EC，
∴A₁C是点A到平面A₁EC的距离，
∵ACC₁A₁是边长为2的正方形，∴A₁C=

1

2

22+22

=

2

．
∴点A到平面A₁EC的距离为

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．