Question

四棱锥P-ABCD的底面与侧面的形状和大小如图所示．

（1）画出该四棱锥的直观图，并证明：当E为PA的中点时，BE∥平面PCD；
（2）若从该四棱锥的8条棱中，任取2条棱，则恰好满足相互垂直的概率是多少？

Answer 1

考点：空间几何体的直观图

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）欲证BE∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BE与平面PCD内一直线平行，设侧棱PD的中点为F，连接BE，EF，FC，易证四边形BEFC为平行四边形，则BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，满足定理所需条件；
（2）求出从该四棱锥的8条棱中，任取2条棱，恰好满足相互垂直的棱，即可求出从该四棱锥的8条棱中，任取2条棱，则恰好满足相互垂直的概率．

解答： 解：（1）该四棱锥的直观图如图所示，
由题意可得PA=AB=BC=2，PC=2

3

，PD=2

5

，所以CD⊥CP；
设侧棱PD的中点为F，连接BE，EF，FC
则EF∥AD，且EF=

1

2

AD．
由已知∠ABC=∠BAD=90°，
所以BC∥AD．
又BC=

1

2

AD，
所以BC∥EF．且BC=EF
所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE∥CF．
因为BE?平面PCD，CF?平面PCD，
所以BE∥平面PCD．
（2）从该四棱锥的8条棱中，任取2条棱，恰好满足相互垂直的有PA⊥AB，PA⊥AD，PC⊥CD，PA⊥AD，AD⊥AB，BC⊥AC，PA⊥BC，PA⊥CD共9条，
所以所求概率为

9

C 2 8

=

9

28

．

点评：本题主要考查了线面平行的判定、概率知识，同时考查了空间想象能力，推理论证能力，属于中档题．