Question

9．定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞-xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）的零点的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0=f（3）=f（-3），令函数h（x）=xf（x），分析可得h（x）为偶函数，当x＞0时，对其求导可得h′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），分析可得h′（x）＞0，即可得x＞0时，函数h（x）是增函数，结合偶函数的性质分析可得x＜0时，h（x）是减函数，结合题意，即可得答案．

解答 解：根据题意，y=f（x）是R上的奇函数，则有f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
又由f（x）满足f（3）=0，则有f（0）=0=f（3）=f（-3），
令函数h（x）=xf（x），h（-x）=-xf（-x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函数，
又x＞0时，f（x）＞-xf'（x）恒成立，即f（x）+xf'（x）＞0恒成立，
对于函数h（x），则有h′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＞0
则x＞0时，函数h（x）是增函数，
又∴x＜0时，h（x）是减函数，
结合函数的定义域为R，且g（0）=g（3）=g（-3）=0，
所以函数g（x）=xf（x）的零点的个数为3，
故选C．

点评 本题考查函数零点个数的判定，涉及导数与函数单调性的性质，注意函数的单调性的充分应用．