Question

1．在数列{a_n}中，a_n+1=a_n+2，且a₁=1，则$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_9}{a_{10}}}}$=（　　）

• A． $\frac{9}{19}$
• B． $\frac{18}{19}$
• C． $\frac{10}{21}$
• D． $\frac{20}{21}$

Answer 1

分析 由等差数列的通项公式可得a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，由$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：在数列{a_n}中，a_n+1=a_n+2，且a₁=1，
可得a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
由$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
可得$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_9}{a_{10}}}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{19}$）=$\frac{9}{19}$．
故选：A．

点评 本题考查等差数列的通项公式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．