Question

如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则以下结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S_△AOE=S_△COE，⑤∠AEO=30°其中正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：选作题,立体几何

分析：根据角平分线的定义可得∠BAE=45°，然后求出∠BAO=60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，然后求出△ODC也是等边三角形，判断出①正确；求出AC=2AB，再根据垂线段最短可得BC＜AC，判断出②错误；判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出AB=BE，再求出BO=BE，根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE=75°，然后求出∠AOE=135°，判断出③⑤正确；根据等底等高的三角形的面积相等可得S_△AOE=S_△COE，判断出④正确．

解答： 解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
又∵矩形中OA=OB=OC=OD，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质，AB=OA，
∴AC=2AB，
由垂线段最短BC＜AC，
∴BC＜2AB，故②错误；
∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴BO=BE，
∵∠COB=180°-60°=120°，
∴∠BOE=

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（180°-30°）=75°，
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，∠AEO=30°，故③⑤正确；
∵△AOE和△COE的底边AO=CO，点E到AC的距离相等，
∴S_△AOE=S_△COE，故④正确；
综上所述，正确的结论是①③④⑤．
故选：D．

点评：本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，等底等高的三角形的面积相等，综合题，但难度不大，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．