Question

已知函数f（x）=g（x）•e^-x在x=

π

6

处有极值，则函数y=g（x）的图象可能是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先对f（x）求导，再利用极值的性质，得到f′（

π

6

）=0，即g′（

π

6

）=g（

π

6

），由导数的几何意义得在x=

π

6

处的导数值即切线的斜率，等于

π

6

的函数值，再对选项一一加以判断，即可得到A正确，B，C，D均错．

解答： 解：函数f（x）=g（x）•e^-x在的导数f′（x）=g′（x）•e^-x+g（x）•e^-x•（-1）
=e^-x•（g′（-x）-g（x）），
由于函数f（x）=g（x）•e^-x在x=

π

6

处有极值，
则f′（

π

6

）=0，即有g′（

π

6

）-g（

π

6

）=0，即g′（

π

6

）=g（

π

6

），
由导数的几何意义得在x=

π

6

处的导数值即切线的斜率，等于

π

6

的函数值，
对于A．在x=

π

6

处的切线的斜率为负值，函数值也为负，故A正确；
对于B．在x=

π

6

处的切线的斜率为负值，函数值为正，故B错；
对于C．在x=

π

6

处的切线的斜率为正值，函数值为负，故C错；
对于D．在x=

π

6

处的切线的斜率为正值，函数值为0，故D错．
故选A．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查极值的概念及运用，考查判断能力和观察能力，属于中档题．