Question

4．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）+g（x）=e^x，
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）证明g（x）在x∈（0，+∞）为增函数；
（Ⅲ）求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）由条件可得f（-x）+g（-x）=e^-x，利用函数的奇偶性化简，联立方程组解出f（x），g（x）；
（II）设x₁＞x₂＞0，计算g（x₁）-g（x₂）并化简，判断（x₁）-g（x₂）的符号得出结论；
（III）根据函数单调性求出最小值g（0）即可得出值域．

解答 解：（I）∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∵f（x）+g（x）=e^x，①
∴f（-x）+g（-x）=e^-x，即g（x）-f（x）=e^-x，②
①+②得2g（x）=e^x+e^-x，∴g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
∴f（x）=e^x-g（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$．
（II）设x₁＞x₂＞0，则g（x₁）=$\frac{{e}^{{x}_{1}}+{e}^{-{x}_{1}}}{2}$，g（x₂）=$\frac{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{-{x}_{{\;}_{2}}}}{2}$，
∴g（x₁）-g（x₂）=$\frac{1}{2}$（e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$+e${\;}^{-{x}_{1}}$-e${\;}^{-{x}_{2}}$）=$\frac{1}{2}$（e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$）．
∵x₁＞x₂＞0，∴e${\;}^{{x}_{1}}$＞e${\;}^{{x}_{2}}$＞1，
∴e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$＞0，1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．
（III）∵g（x）是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，
∴g_min（x）=g（0）=1，
∴g（x）的值域为[1，+∞）．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数单调性的判断与应用，属于中档题．