Question

3．在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得：c²=a²+b²+ab，由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得：acosB=3bcosA，由余弦定理可得：c²=2a²-2b²，可得（$\frac{a}{b}$）²-$\frac{a}{b}$-3=0，解得$\frac{a}{b}$的值，由正弦定理即可得解．

解答 解：∵C=120°，由余弦定理可得：c²=a²+b²+ab，①
∵tanA=3tanB，可得：sinAcosB=3sinBcosA，由正弦定理可得：acosB=3bcosA，
∴由余弦定理可得：a$•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=3b$•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：c²=2a²-2b²，②
∴由①②可得：a²-ab-3b²=0，可得：（$\frac{a}{b}$）²-$\frac{a}{b}$-3=0，解得：$\frac{a}{b}$=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$sinB，
故答案为：$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．