Question

8．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x⁴+3x³-3x²-6x+a在区间（1，2）内有一个零点x₀，g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x₀）∪（x₀，2]，函数h（x）=g（x）（m-x₀）-f（m），求证：h（m）h（x₀）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且$\frac{p}{q}$∈[1，x₀）∪（x₀，2]，满足|$\frac{p}{q}$-x₀|≥$\frac{1}{A{q}^{4}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x³+9x²-6x-6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．
（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m-x₀）-f（m），推出h（m）=g（m）（m-x₀）-f（m），
令函数H₁（x）=g（x）（x-x₀）-f（x），求出导函数H′₁（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x₀）＜0．
（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且$\frac{p}{q}∈[1，{x}_{0}）∪（{x}_{0}，2]$，令m=$\frac{p}{q}$，函数h（x）=g（x）（m-x₀）-f（m）．
由（Ⅱ）知，当m∈[1，x₀）时，当m∈（x₀，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|$\frac{p}{q}$-x₀|=$|\frac{f（\frac{p}{q}）}{g（{x}_{1}）}|$≥$\frac{|f（\frac{p}{q}）|}{g（2）}$=$\frac{|2{p}^{4}+3{p}^{3}q-3{p}^{2}{q}^{2}-6p{q}^{3}+a{q}^{4}|}{g（2）{q}^{4}}$．推出|2p⁴+3p³q-3p²q²-6pq³+aq⁴|≥1．然后推出结果．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=2x⁴+3x³-3x²-6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x³+9x²-6x-6，
进而可得g′（x）=24x²+18x-6．令g′（x）=0，解得x=-1，或x=$\frac{1}{4}$．
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	（-1，$\frac{1}{4}$）	（$\frac{1}{4}$，+∞）
g′（x）	+	-	+
g（x）	↗	↘	↗

所以，g（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（$\frac{1}{4}$，+∞），单调递减区间是（-1，$\frac{1}{4}$）．
（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m-x₀）-f（m），得h（m）=g（m）（m-x₀）-f（m），
h（x₀）=g（x₀）（m-x₀）-f（m）．
令函数H₁（x）=g（x）（x-x₀）-f（x），则H′₁（x）=g′（x）（x-x₀）．
由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，
故当x∈[1，x₀）时，H′₁（x）＜0，H₁（x）单调递减；
当x∈（x₀，2]时，H′₁（x）＞0，H₁（x）单调递增．
因此，当x∈[1，x₀）∪（x₀，2]时，H₁（x）＞H₁（x₀）=-f（x₀）=0，可得H₁（m）＞0即h（m）＞0，
令函数H₂（x）=g（x₀）（x-x₀）-f（x），则H′₂（x）=g′（x₀）-g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x₀）时，H′₂（x）＞0，H₂（x）单调递增；当x∈（x₀，2]时，H′₂（x）＜0，H₂（x）单调递减．因此，当x∈[1，x₀）∪（x₀，2]时，H₂（x）＞H₂（x₀）=0，可得得H₂（m）＜0即h（x₀）＜0，．
所以，h（m）h（x₀）＜0．
（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且$\frac{p}{q}∈[1，{x}_{0}）∪（{x}_{0}，2]$，
令m=$\frac{p}{q}$，函数h（x）=g（x）（m-x₀）-f（m）．
由（Ⅱ）知，当m∈[1，x₀）时，h（x）在区间（m，x₀）内有零点；
当m∈（x₀，2]时，h（x）在区间（x₀，m）内有零点．
所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x₁，则h（x₁）=g（x₁）（$\frac{p}{q}$-x₀）-f（$\frac{p}{q}$）=0．
由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x₁）＜g（2），
于是|$\frac{p}{q}$-x₀|=$|\frac{f（\frac{p}{q}）}{g（{x}_{1}）}|$≥$\frac{|f（\frac{p}{q}）|}{g（2）}$=$\frac{|2{p}^{4}+3{p}^{3}q-3{p}^{2}{q}^{2}-6p{q}^{3}+a{q}^{4}|}{g（2）{q}^{4}}$．
因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在区间[1，2]上除x₀外没有其他的零点，而$\frac{p}{q}$≠x₀，故f（$\frac{p}{q}$）≠0．
又因为p，q，a均为整数，所以|2p⁴+3p³q-3p²q²-6pq³+aq⁴|是正整数，
从而|2p⁴+3p³q-3p²q²-6pq³+aq⁴|≥1．
所以|$\frac{p}{q}$-x₀|≥$\frac{1}{g（2）{q}^{4}}$．所以，只要取A=g（2），就有|$\frac{p}{q}$-x₀|≥$\frac{1}{A{q}^{4}}$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．