题目内容
某人有n元钱，他每天买一次物品，每次买物品的品种很单调，或者买一元钱的甲物品，或者买两元钱的乙物品，或者买两元钱的丙物品，问他花完这n元钱有多少种不同的方式．
考点：数列递推式
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：根据条件建立递推关系，利用数列的递推公式进行求解即可得到结论．
解答：
解：设an表示花完这n元钱的方案种数，
若n=1，则只能买甲，有一种方法，故a1=1，
若n=2，则可以买2个甲，或者1个乙或1个丙，即a2=3，
当n≥3时，花钱的方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成，
即an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2
则当n≥3时，an+an-1=2（an-1+an-2），
即{an+1+an}是公比q=2的等比数列，首项为a2+a1=1+3=4，
则an+1+an=4•2n-1=2n+1，
∴an+an-1=2n，
两式相减得an+1-an-1=2n+1-2n=2n，（n≥2），
若n是奇数，an=2n-1+2n-3+…+22+a1=
（2n+1-1）
若n是偶数，an=2n-1+2n-3+…+23+a2=
（2n+1+1）．
若n=1，则只能买甲，有一种方法，故a1=1，
若n=2，则可以买2个甲，或者1个乙或1个丙，即a2=3，
当n≥3时，花钱的方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成，
即an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2
则当n≥3时，an+an-1=2（an-1+an-2），
即{an+1+an}是公比q=2的等比数列，首项为a2+a1=1+3=4，
则an+1+an=4•2n-1=2n+1，
∴an+an-1=2n，
两式相减得an+1-an-1=2n+1-2n=2n，（n≥2），
若n是奇数，an=2n-1+2n-3+…+22+a1=
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若n是偶数，an=2n-1+2n-3+…+23+a2=
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点评：本题主要考查数列的递推关系的应用，根据条件建立递推关系是解决本题的关键．难度较大．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
=（2sinα，2cosα），
=（-cosβ，sinβ），其中O为坐标原点，若|
|≥
|
|对任意实数α、β都成立，则实数t的取值范围为（ ）
| OP |
| OQ |
| PQ |
| t2-2t-2 |
| OQ |
| A、[-1，3] | ||||
B、[-1，1-
| ||||
C、[1-
| ||||
D、[1-
|
若函数f（x）=|x|-ax-1在R上有一负值零点，无正值零点，则实数a的取值范围为（ ）
| A、a=1 | B、a＞-1 |
| C、a＞1 | D、a≥1 |