Question

f（x）=log_0.5（-2x²+ax+3），若函数f（x）为偶函数，且x∈（m，n）的值域为（1，+∞），求a，m，n．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由函数是偶函数，得到-2x²+ax+3对应方程的两根互为相反数，由此求得a的值；再根据x∈（m，n）的值域为（1，+∞），先由y=log_0.5t的值域为（1，+∞）求出t的范围，进一步求得x的范围得答案．

解答： 解：∵f（x）=log_0.5（-2x²+ax+3）为偶函数，
∴其定义域关于原点中心对称．
即-2x²+ax+3对应方程的两根互为相反数．
由x1+x2=

a

2

=0，解得a=0．
∴f（x）=log_0.5（-2x²+ax+3）=log_0.5（-2x²+3），
令t=-2x²+3，则0＜t≤3．
由y=log_0.5t的值域为（1，+∞），得t∈(0，

1

2

)．
由-2x²+3=0，解得x=±

6

2

．
由-2x²+3=

1

2

，解得x=±

5

2

．
∴当m=-

6

2

时，n=-

5

2

；
当m=

5

2

时，n=

6

2

．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数值域的求法，是中档题．