Question

已知等差数列{a_n}中，满足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}的公差为非零的常数，且b_n=

25

an•an+1

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，当T_n≤λ恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列{a_n}中，满足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比数列，建立方程，求出首项与公差，即可求a_n；
（Ⅱ）确定数列{b_n}的通项，利用裂项法求和，根据T_n≤λ恒成立，即可求λ的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设公差为d，则有a1+2d=5，  (a1+d)2=a1(a1+3d)，
又a₁≠0，解得：a₁=5，d=0或a1=

5

3

，d=

5

3

，
∴a_n=5或an=

5

3

n（n∈N^*）
（Ⅱ）由题意an=

5

3

n，∴bn=

9

n(n+1)

=9(

1

n

-

1

n+1

)
∴Tn=9[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)]=9(1-

1

n+1

)＜9．
∴λ的最小值为9．

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的通项，正确求和是关键．