Question

9．已知3tanα=2tan（α+β），求证：5sinβ=sin（2α+β）

Answer 1

分析 由条件利用利用两角和差的正弦公式化简 $\frac{sin（2α+β）}{sinβ}$ 为5，从而证得要证的结论．

解答 解：∵3tanα=2tan（α+β），∴tanα=$\frac{2}{3}$tan（α+β），
∴$\frac{sin（2α+β）}{sinβ}$=$\frac{sin[（α+β）+α]}{sin[（α+β）-α]}$=$\frac{sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα}{sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα}$=$\frac{tan（α+β）+tanα}{tan（α+β）-tanα}$=$\frac{\frac{5}{3}•tan（α+β）}{\frac{1}{3}•tan（α+β）}$=5，
∴sin（2α+β）=5sinβ，即 5sinβ=sin（2α+β）成立．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．