在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$.以O为极点.x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144.且直线l与曲线C交于P.Q两点．(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为9ρ²cos²θ+16ρ²sin²θ=144，且直线l与曲线C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的顶点A的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若|AP|•|AQ|=9，求直线l的普通方程．

分析（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程能求出直线l恒过的定点A的坐标．
（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中，得：（9+7sin²α）t²+36tcosα-9×12=0．由t的几何意义知|AP|=|t₁|，|AQ|=|t₂|，点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，从而得到|$\frac{-36×3}{9+7si{n}^{2}α}$|=9，进而求出tan$α=±\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出直线l的方程．

解答解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为9ρ²cos²θ+16ρ²sin²θ=144，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l恒过定点为A（2，0）．
（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中，
整理，得：（9+7sin²α）t²+36tcosα-9×12=0．
由t的几何意义知|AP|=|t₁|，|AQ|=|t₂|，
∵点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，
∴t₁t₂=$\frac{-36×3}{9+7si{n}^{2}α}$，∵|AP|•|AQ|=|t₁t₂|=9，即|$\frac{-36×3}{9+7si{n}^{2}α}$|=9，
∴$si{n}^{2}α=\frac{3}{7}$，∵α∈（0，π），∴tan$α=±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直线l的方程为y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}（x-2）$．

点评本题考查曲线的直角坐标方程和直线恒过的定点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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