Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为

1

2

，左右焦点分别为F₁，F₂，
（1）求椭圆的方程；
（2）过F₂的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，求△F₁MN面积最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知a=2，

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，S△F1MN=

1

2

|F1F2|•（y₁-y₂）=y₁-y₂，设直线l的方程为x=my+1，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韦达定理、均值定理、函数的单调性能求出三角形面积的最大值．

解答： 解：（1）由题意知a=2，

c

a

=

1

2

，
∴c=1，b=

3

，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，
S△F1MN=

1

2

|F1F2|•（y₁-y₂）=y₁-y₂，
由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my+1，
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
得y₁=

-3m+6 m2+1

3m2+4

，y₂=

-3m-6 m2+1

3m2+4

，
则S△F1MN=

1

2

F1F2（y₁-y₂）=y₁-y₂=

12 m2+1

3m2+4

，
令t=

m2+1

，则t≥1，则S△F1MN=

12 m2+1

3m2+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，
令f（t）=3t+

1

t

，3t+

1

t

≥2

3

，
当且仅当t=

3

3

时，等号成立，
当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤

12

4

=3，
∴当t=1，m=0时，所求三角形面积的最大值为3．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、均值定理、函数的单调性的合理运用．